노드해석법은 회로해석에서 가장 광범위하게 활용됩니다.
회로 해석의 기본으로, 메쉬해석법과 같이 사용되는 해석법입니다.
예제와 함께 노드해석법에 대해 알아보겠습니다.
목차
노드해석법
노드의 개념
노드(node) 정의
노드(node)란 선 2개 이상이 교차할 때 생기는 접속점입니다.
다시 말해 '교차된 선들이 연결되어 있다'라고 회로도에 표시한 것입니다.
키르히호프 전류 법칙에서 노드의 성질에 관해 다룬 적이 있습니다.
(한 노드에서 들어오고 나가는 전류의 합은 0이다.)
오늘은 이 KCL을 메인으로 해석을 진행해 보겠습니다.
노드의 개념은 과거 포스팅을 참고하시길 바랍니다.
2023.03.08 - [회로이론/처음해보는 회로이론] - 기초 회로 이론 1. 회로의 구성 요소
기초 회로 이론 1. 회로의 구성 요소
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노드해석법
노드해석법의 정의
노드해석법은 노드(접속점)를 기준으로 전압, 전류를 구하는 해석법입니다.
영어로는 노드해석법을 Nodal Analysis라고 합니다.
옴의 법칙, 키르히호프 전류 법칙을 활용해서 해석을 진행합니다.
임의의 노드 하나를 기준으로 방정식을 세워 전압, 전류의 값을 구하는 것입니다.
직접 아래의 예제를 가지고 설명해 보겠습니다.
예제
예제 회로
전압원 2개, 저항이 3개인 회로입니다.
다음 회로에 전압과 전류가 어떻게 표현되는지 알아보겠습니다.
일부러 값을 손으로 풀기 쉽도록 설정하였습니다.
다음 풀이과정을 보면서 노드해석법의 적용과정을 알아보겠습니다.
풀이과정
1. 임의의 노드 A를 지정한다.
두 전원이 있을 경우에는 둘의 사이 점을 기준으로 해석하는 게 편합니다.
우리는 한 점을 기준으로 회로를 해석할 것입니다.
그렇기 때문에 구하고자 하는 노드 A를 먼저 정합니다.
예제에서는 가운데 상단에 있는 저 노드로 정하겠습니다.
저 노드의 전압값이 $V$라 정의하겠습니다.
2. $V$와 관련된 전류의 방향을 정한다.
반대로 화살표를 설정해도 전류의 절댓값은 같게 나옵니다.
저는 보기와 같이 전류의 방향을 정했습니다.
다만 화살표가 바뀌면 부호값이 바뀔 겁니다. 이 때문에 해석에 혼동이 생깁니다.
그러니 1번 화살표 방향을 정했으면 중간에 바꾸지 맙시다.
3. $V$에 대한 방정식을 세운다.
1. $I_{1}+I_{2}=I_{3}$
2. $I = \frac {V}{R}$
3. $\frac{12-V}{6}+\frac{15-V}{9}=\frac{V}{3}$
1번 식은 키르히호프의 전류 법칙인 (들어오는 전류 = 나가는 전류) 식을 세웠습니다.
2번 식은 옴의 법칙입니다. 전류는 전압/저항이었죠.
3번 식은 2번 식을 1번 식에 대입한 것입니다.
4. 왜 $I_{1}$의 식의 전압은 12 [V]에서 $V$를 빼는 것일까요?
$R_{1}$는 $V_{1}$인 12 [V]와 노드 A인 $V$ [V] 값의 차만큼 전압강하가 걸리기 때문입니다.
키르히호프 전압법칙(기전력 = 전압강하의 합)으로 식을 세워보면
12 [V] = $V$ [V] + $R_{1}$에 걸린 전압강하
$R_{1}$에 걸린 전압강하 = 12 - V [V]
따라서 $I_{1}$의 전압강하에 (12 - $V$)[V]를 대입하는 것입니다.
$I_{1}$도 같은 이유로 (15-$V$)[V]를 대입합니다.
$I_{3}$의 경우에는 $R_{3}$을 지나면 바로 접지로 이어집니다. 즉, ($V$-0)[V]를 대입합니다.
$V$값은 6V가 나옵니다.
$V$값이 나오면 저항에 걸린 전압강하들을 알 수 있고,
그러면 각각의 전류값을 구할 수 있습니다.
저 식을 전개하는 것은 일차방정식의 전개와 같기 때문에 생략하겠습니다.
시뮬레이션과 우리가 구한 값을 비교해 보면 같은 값이 나옵니다.
정답
전압
$R_{1}$의 전압강하 = 12-6 =6V
$R_{2}$의 전압강하 = 15-6 =9V
$R_{3}$의 전압강하= 노드 A의 전압(V) = 6V
전류
$I_{1}$ = 1A
$I_{2}$ = 1A
$I_{3}$ = 2A
맺음말
1. 노드 하나를 기준으로 잡고, 그 점의 전압을 미지수로 잡는다.
2. 노드에 들어오고 나가는 전류의 방향을 정한다.
3. 옴의 법칙과 KCL로 방정식을 세운다.
4. 노드의 전압을 구한다.
5. 방정식에 답을 대입해 나머지 전압, 전류를 구한다.
오늘의 포스팅 요약입니다.
노드를 통해 우리는 기초 회로 대부분을 해석할 수 있습니다.
다음 주제는 노드의 활용에 대해 알아볼 예정입니다.
이번 포스팅 여기서 마치겠습니다.
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